微分積分例

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sin^{2} (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 9

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 10

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 12

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 13

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 15

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 16

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 17

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 17.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 17.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 17.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 17.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 18

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 19

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 20

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 21

簡約します。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 22

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 22.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

$\sin (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 23.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 23.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 23.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 23.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 23.5

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 23.6

分配則を当てはめます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 23.7

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 23.8

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 23.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

ステップ 24

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 25

答えは関数 $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微分積分 例

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