微分積分例

$x - \sin (2 x)$

ステップ 1

$x - \sin (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x - \sin (2 x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x - \sin (2 x) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x d x + \int - \sin (2 x) d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \sin (2 x) d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (2 x) d x$

ステップ 7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 8

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

ステップ 10

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u) + C$

ステップ 11.2.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (u) + C$

ステップ 11.2.3

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (u)}{2} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = x - \sin (2 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

微分積分 例

微分積分例