微分積分例

$f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sin (3 x + \frac{π}{6}) d x$

ステップ 3

$u = 3 x + \frac{π}{6}$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 3 x + \frac{π}{6}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$3 x + \frac{π}{6}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + \frac{π}{6}]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $3 x + \frac{π}{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

ステップ 3.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$\frac{π}{6}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{π}{6}$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

ステップ 6

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

簡約します。

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $3 x + \frac{π}{6}$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (3 x + \frac{π}{6})}{3} + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$

微分積分 例

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