微分積分例

$y - y^{2} + x + x^{2} = - 2 y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y - y^{2} + x + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $y - y^{2} + x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' - 2 y y' + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' - 2 y y' + 1 + 2 x$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 y^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 6 y^{2} y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 = - 6 y^{2} y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $6 y^{2} y'$ を足します。

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 + 6 y^{2} y' = 0$

ステップ 5.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$- 2 y y' + y' + 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

ステップ 5.3

$y'$ を $- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

ステップ 5.3.3

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

ステップ 5.3.4

$y'$ を $6 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

ステップ 5.3.5

$y'$ を $y' (- 2 y) + y' \cdot 1$ で因数分解します。

$y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

ステップ 5.3.6

$y'$ を $y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (- 2 y + 1 + 6 y^{2}) = - 2 x - 1$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$

ステップ 5.5

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ の各項を $6 y^{2} - 2 y + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ の各項を $6 y^{2} - 2 y + 1$ で割ります。

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$6 y^{2} - 2 y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 x - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.5.3.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.5.3.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.5.3.4

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.5.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.5.3.5.1

$- (2 x + 1)$ を $- 1 (2 x + 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 5.5.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

微分積分 例

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