微分積分例

$\int {(1 + x^{2})}^{2} \cdot 6 x d x$

ステップ 1

$6$ を ${(1 + x^{2})}^{2}$ の左に移動させます。

$\int 6 {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

ステップ 2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

ステップ 3

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 3.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

ステップ 4

$u^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

ステップ 6.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

ステップ 6.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 \int u^{2} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

ステップ 8.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

ステップ 8.2.2.2

式を書き換えます。

$1 u^{3} + C$

ステップ 8.2.3

$u^{3}$ に $1$ をかけます。

$u^{3} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

${(1 + x^{2})}^{3} + C$

微分積分 例

微分積分例