微分積分例

$\frac{2 x}{\sqrt{3 x - 1}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x - 1}$ を ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

ステップ 5.2

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

ステップ 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{3 x - 1}$

ステップ 12

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

ステップ 13

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

ステップ 14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

ステップ 15

$3$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

ステップ 16

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)}{3 x - 1}$

ステップ 17

分数をまとめます。

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ステップ 17.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3 x - 1}$

ステップ 17.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 17.3

$- 3$ と $\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 17.4

分数の前に負数を移動させます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 18

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 19

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 20

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 21

指数を足して ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 21.1

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 21.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 21.3

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 21.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 21.5

$2$ を $2$ で割ります。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{1} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 22

${(3 x - 1)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$2 \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 23

$2$ を $3 x - 1$ の左に移動させます。

$2 \frac{\frac{2 \cdot (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

ステップ 24

$\frac{\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$ を積として書き換えます。

$2 (\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 x - 1})$

ステップ 25

$\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{3 x - 1}$ をかけます。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 1)}$

ステップ 26

$3 x - 1$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 ({(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 27

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 28

式を簡約します。

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ステップ 28.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 28.2

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 28.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 29

$2$ と $\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 (2 (3 x - 1) - 3 x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 30

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 (3 x - 1) - 3 x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 31

式を書き換えます。

$\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 32

簡約します。

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ステップ 32.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 1 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 32.2

分子を簡約します。

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ステップ 32.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 32.2.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x + 2 \cdot - 1 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 32.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x - 2 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 32.2.2

$6 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{3 x - 2}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例