微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$x^{3} + x$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 3.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

ステップ 3.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

ステップ 3.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

+

$x^{3}$

+

$0$

+

$x$

ステップ 3.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 + x$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$x$

ステップ 3.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$x$

$0$

ステップ 3.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$x$

$0$

+

$0$

ステップ 3.7

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$\int x d x$

$\int x d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 5

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$