微分積分例

$V (w) = (60 - 4 w) w^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (w) = 60 - 4 w$ および $g (w) = w^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ は $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(60 - 4 w) \frac{d}{d w} [w^{2}] + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(60 - 4 w) (2 w) + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

ステップ 1.2.2

$2$ を $60 - 4 w$ の左に移動させます。

$2 \cdot (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $60 - 4 w$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w]$ です。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

ステップ 1.2.4

$60$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $60$ の微分係数は $0$ です。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (0 + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

ステップ 1.2.5

$0$ と $\frac{d}{d w} [- 4 w]$ をたし算します。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [- 4 w]$

ステップ 1.2.6

$- 4$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $- 4 w$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d w} [w]$ です。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \frac{d}{d w} [w])$

ステップ 1.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \cdot 1)$

ステップ 1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \cdot - 4$

ステップ 1.2.8.2

$- 4$ を $w^{2}$ の左に移動させます。

$2 (60 - 4 w) w - 4 \cdot w^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 60 + 2 (- 4 w)) w - 4 w^{2}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 60 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

ステップ 1.3.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2$ に $60$ をかけます。

$120 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

ステップ 1.3.3.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$120 w - 8 w \cdot w - 4 w^{2}$

ステップ 1.3.3.3

$w$ を $1$ 乗します。

$120 w - 8 (w^{1} w) - 4 w^{2}$

ステップ 1.3.3.4

$w$ を $1$ 乗します。

$120 w - 8 (w^{1} w^{1}) - 4 w^{2}$

ステップ 1.3.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$120 w - 8 w^{1 + 1} - 4 w^{2}$

ステップ 1.3.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$120 w - 8 w^{2} - 4 w^{2}$

ステップ 1.3.3.7

$- 8 w^{2}$ から $4 w^{2}$ を引きます。

$120 w - 12 w^{2}$

ステップ 1.3.4

項を並べ替えます。

$- 12 w^{2} + 120 w$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 12 w^{2} + 120 w$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [- 12 w^{2}] + \frac{d}{d w} [120 w]$ です。

$V'' (w) = \frac{d}{d w} (- 12 w^{2}) + \frac{d}{d w} (120 w)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d w} [- 12 w^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 12$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $- 12 w^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ です。

$V'' (w) = - 12 \frac{d}{d w} w^{2} + \frac{d}{d w} (120 w)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$V'' (w) = - 12 (2 w) + \frac{d}{d w} (120 w)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$V'' (w) = - 24 w + \frac{d}{d w} (120 w)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d w} [120 w]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$120$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $120 w$ の微分係数は $120 \frac{d}{d w} [w]$ です。

$V'' (w) = - 24 w + 120 \frac{d}{d w} (w)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$V'' (w) = - 24 w + 120 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$120$ に $1$ をかけます。

$V'' (w) = - 24 w + 120$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 12 w^{2} + 120 w = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$(60 - 4 w) \frac{d}{d w} [w^{2}] + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(60 - 4 w) (2 w) + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

ステップ 4.1.2.2

$2$ を $60 - 4 w$ の左に移動させます。

$2 \cdot (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $60 - 4 w$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w]$ です。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

ステップ 4.1.2.4

$60$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $60$ の微分係数は $0$ です。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (0 + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

ステップ 4.1.2.5

$0$ と $\frac{d}{d w} [- 4 w]$ をたし算します。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [- 4 w]$

ステップ 4.1.2.6

$- 4$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $- 4 w$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d w} [w]$ です。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \frac{d}{d w} [w])$

ステップ 4.1.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \cdot 1)$

ステップ 4.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \cdot - 4$

ステップ 4.1.2.8.2

$- 4$ を $w^{2}$ の左に移動させます。

$2 (60 - 4 w) w - 4 \cdot w^{2}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 60 + 2 (- 4 w)) w - 4 w^{2}$

ステップ 4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 60 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

ステップ 4.1.3.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

$2$ に $60$ をかけます。

$120 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

ステップ 4.1.3.3.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$120 w - 8 w \cdot w - 4 w^{2}$

ステップ 4.1.3.3.3

$w$ を $1$ 乗します。

$120 w - 8 (w^{1} w) - 4 w^{2}$

ステップ 4.1.3.3.4

$w$ を $1$ 乗します。

$120 w - 8 (w^{1} w^{1}) - 4 w^{2}$

ステップ 4.1.3.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$120 w - 8 w^{1 + 1} - 4 w^{2}$

ステップ 4.1.3.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$120 w - 8 w^{2} - 4 w^{2}$

ステップ 4.1.3.3.7

$- 8 w^{2}$ から $4 w^{2}$ を引きます。

$120 w - 12 w^{2}$

ステップ 4.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (w) = - 12 w^{2} + 120 w$

ステップ 4.2

$w$ に関する $V (w)$ の一次導関数は $- 12 w^{2} + 120 w$ です。

$- 12 w^{2} + 120 w$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 w^{2} + 120 w = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 w^{2} + 120 w = 0$

ステップ 5.2

$- 12 w$ を $- 12 w^{2} + 120 w$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 12 w$ を $- 12 w^{2}$ で因数分解します。

$- 12 w \cdot w + 120 w = 0$

ステップ 5.2.2

$- 12 w$ を $120 w$ で因数分解します。

$- 12 w \cdot w - 12 w \cdot - 10 = 0$

ステップ 5.2.3

$- 12 w$ を $- 12 w (w) - 12 w (- 10)$ で因数分解します。

$- 12 w (w - 10) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$w = 0$

$w - 10 = 0$

ステップ 5.4

$w$ が $0$ に等しいとします。

$w = 0$

ステップ 5.5

$w - 10$ を $0$ に等しくし、 $w$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$w - 10$ が $0$ に等しいとします。

$w - 10 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$w = 10$

ステップ 5.6

最終解は $- 12 w (w - 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$w = 0, 10$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$w = 0, 10$

ステップ 8

$w = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 24 \cdot 0 + 120$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$- 24$ に $0$ をかけます。

$0 + 120$

ステップ 9.2

$0$ と $120$ をたし算します。

$120$

ステップ 10

$w = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$w = 0$ は極小値です

ステップ 11

$w = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $w$ を $0$ で置換えます。

$V (0) = (60 - 4 \cdot 0) {(0)}^{2}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$- 4$ に $0$ をかけます。

$V (0) = (60 + 0) {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.2

$60$ と $0$ をたし算します。

$V (0) = 60 {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V (0) = 60 \cdot 0$

ステップ 11.2.4

$60$ に $0$ をかけます。

$V (0) = 0$

ステップ 11.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$w = 10$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 24 \cdot 10 + 120$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- 24$ に $10$ をかけます。

$- 240 + 120$

ステップ 13.2

$- 240$ と $120$ をたし算します。

$- 120$

ステップ 14

$w = 10$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$w = 10$ は極大値です

ステップ 15

$w = 10$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $w$ を $10$ で置換えます。

$V (10) = (60 - 4 \cdot 10) {(10)}^{2}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$- 4$ に $10$ をかけます。

$V (10) = (60 - 40) {(10)}^{2}$

ステップ 15.2.2

$60$ から $40$ を引きます。

$V (10) = 20 {(10)}^{2}$

ステップ 15.2.3

$10$ を $2$ 乗します。

$V (10) = 20 \cdot 100$

ステップ 15.2.4

$20$ に $100$ をかけます。

$V (10) = 2000$

ステップ 15.2.5

最終的な答えは $2000$ です。

$y = 2000$

ステップ 16

$V (w) = (60 - 4 w) w^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

$(10, 2000)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例