微分積分例

$\frac{d}{d x} (\arctan (x) + 2 \sqrt{x})$

ステップ 1

総和則では、 $\arctan (x) + 2 \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

ステップ 2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.10

$2$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.12

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.13

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項をまとめます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ に $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

ステップ 4.1.3.3

$(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

微分積分 例

微分積分例