微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 1

分数を複数の分数に分割します。

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.4

式を書き換えます。

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ と $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

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ステップ 6.2.1

$e$ および $1$ で $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2.2.4

$- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 6.2.2.5

$- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 6.2.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 6.2.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7.1.1.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7.1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7.1.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7.1.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7.1.1.4

因数分解した形で $e^{2} - 1$ を書き換えます。

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ステップ 7.1.1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7.1.1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

ステップ 7.1.2

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

ステップ 7.1.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

ステップ 7.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

ステップ 7.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(e + 1) (e - 1)$ を展開します。

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ステップ 7.4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

ステップ 7.4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

ステップ 7.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

ステップ 7.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

$- 1$ を $e$ の左に移動させます。

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

ステップ 7.4.2.1.2

$- 1 e$ を $- e$ に書き換えます。

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

ステップ 7.4.2.1.3

$e$ に $1$ をかけます。

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

ステップ 7.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

ステップ 7.4.2.2

$- e$ と $e$ をたし算します。

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

ステップ 7.4.2.3

$e e$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

ステップ 7.4.3

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{e e + 1}{2}$

ステップ 7.4.4

$e e$ を掛けます。

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ステップ 7.4.4.1

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

ステップ 7.4.4.2

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

ステップ 7.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

ステップ 7.4.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

10進法形式：

$4.19452804 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例