微分積分例

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x^{2}})}^{x}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}})}^{x}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

${(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x}$ を $e^{\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})}$

ステップ 2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}$

ステップ 3

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}$

ステップ 4

$x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})$ を $\frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2}$ です。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3

極限を求めます。

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ステップ 5.1.2.3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.1.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.5.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.5.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.1.2.5.2.1

$1 + 0$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.5.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.5.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ とします。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.4

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.5

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.6

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.7

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.11

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.11.1

$x$ を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.11.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.11.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.11.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.12

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) \cdot 2 x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ に $\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{(x^{2} + 1) x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.16

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.16.1

$x^{2}$ を $(x^{2} + 1) x^{4}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{x^{2} (x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.16.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{x^{2} (x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.16.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.1

分配則を当てはめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.2

分配則を当てはめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.3

分配則を当てはめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.4.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{1} x^{2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.4.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.4.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.4.2

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.4.3

$0$ から $2 x$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.5.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.5.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{2 + 2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.5.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{4} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{4} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{4} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.6

$x^{2}$ を $x^{4} + x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.6.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.6.2

$1$ を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.6.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.7

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.7.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x^{2} (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.17.7.2.1

$x$ を $x^{2} (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x \cdot x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.7.2.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x \cdot x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.17.7.2.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.18

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 5.3.19

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 5.3.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x (x^{2} + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 5.5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{x (x^{2} + 1)} x^{2}}$

ステップ 5.5.2

$\frac{2}{x (x^{2} + 1)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x (x^{2} + 1)} x^{2}}$

ステップ 5.5.3

$\frac{2}{x (x^{2} + 1)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}}$

ステップ 5.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x^{2} + 1)}}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x^{2} + 1)}}$

ステップ 5.6.2.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

ステップ 6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^{2} + 1}}$

ステップ 7

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2}$ です。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 8

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 8.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 8.1.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 8.1.3.2

共通因数を約分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 8.1.3.3

式を書き換えます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 8.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 8.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{2 \frac{0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 10

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{2 \frac{0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 10.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{2 \frac{0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 11

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$e^{2 \frac{0}{1 + 0}}$

ステップ 12

項を簡約します。

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ステップ 12.1

答えを簡約します。

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ステップ 12.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{2 (\frac{0}{1})}$

ステップ 12.1.2

$0$ を $1$ で割ります。

$e^{2 \cdot 0}$

ステップ 12.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 12.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

微分積分例