微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

ステップ 1

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ は $0$ に近づきます。

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \cdot 0$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt{t}}$ に $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ をかけます。

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{t}}$ に $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ をかけます。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.2

$\sqrt{t}$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.3

$\sqrt{t}$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.6

${\sqrt{t}}^{2}$ を $t$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{1}} d t \cdot 0$

ステップ 3.2.6.5

簡約します。

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t \cdot 0$

ステップ 3.3

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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