微分積分例

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

ステップ 2

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 3.2

$2$ を $7^{u_{1}} - 5$ の左に移動させます。

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ とします。次に $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$7^{u_{1}} - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $7^{u_{1}} - 5$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

ステップ 6.1.3

$a$ = $7$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

ステップ 6.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1.4.1

$- 5$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

ステップ 6.1.4.2

$7^{u_{1}} \ln (7)$ と $0$ をたし算します。

$7^{u_{1}} \ln (7)$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

ステップ 7

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{\ln (7)}$ をかけます。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{\ln (7)}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{\ln (7)}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{\ln (7)}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9.2

$2$ を $\ln (7)$ の左に移動させます。

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 12.1

$u_{2}$ のすべての発生を $7^{u_{1}} - 5$ で置き換えます。

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

ステップ 12.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$

微分積分 例

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