微分積分例

$\int \sin (3 x) + e^{2 x + 1} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sin (3 x) d x + \int e^{2 x + 1} d x$

ステップ 2

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

ステップ 3

$\sin (u_{1})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

ステップ 5

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{2 x + 1} d x$

ステップ 6

$u_{2} = 2 x + 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 6.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

微分積分 例

微分積分例