微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 1.9.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

ステップ 2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

ステップ 2.7.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.7.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.7.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.7.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.7.3.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

ステップ 2.7.3.2

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

ステップ 2.7.3.3

$0$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x}{x^{4}}$

ステップ 2.7.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.1

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.1.1

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

ステップ 2.7.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.1.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.7.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.7.4.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

ステップ 2.7.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例