微分積分例

$y = {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 2 \tan^{3} (2 x) - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 6.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{3}$ と ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

ステップ 6.3

総和則では、 $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \tan^{3} (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)]$ です。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 7

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (2 x)$ とします。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 7.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 8

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 9

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 9.2

$u_{3}$ に関する $\tan (u_{3})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{3})$ です。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 9.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 10

微分します。

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ステップ 10.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 10.2

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 10.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 10.4

$12$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 10.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 0)$

ステップ 10.6

項を簡約します。

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ステップ 10.6.1

$12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

ステップ 10.6.2

$12$ と $\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

ステップ 10.6.3

$\tan^{2} (2 x)$ と $\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (2 x)$

ステップ 10.6.4

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $\sec^{2} (2 x)$ をまとめます。

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12 \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.6.5

$12$ を $\tan^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{12 \cdot \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.6.6

$3$ を $12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11

共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$3$ を $3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 ({(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)}{{(- 1 + 2 \tan^{3} (2 x))}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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