微分積分例

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$ を ${(1 + \sin (x))}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sin (x))}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + \sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 + \sin (x)$ で置き換えます。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \cos (x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cos (x)$

ステップ 5.2

$\cos (x)$ と $\frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

微分積分 例