微分積分例

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 1.4

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.5

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2

$u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 + x^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $2 + x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 2.1.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 2.1.3.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 2.1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.4.2.2

$0$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

$u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 2 + 1$

ステップ 2.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 2.4

$u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.5.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.3.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.1.3.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

ステップ 2.5.1.4

指数を求めます。

$u_{upper} = 2 + 2$

ステップ 2.5.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

ステップ 5

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$4$ および $3$ で $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 6.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 6.2.5

$2$ に $8$ をかけます。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 6.2.6

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $3^{1}$ を分子に移動させます。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

ステップ 6.2.7

指数を足して $3^{\frac{3}{2}}$ に $3^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.7.1

$3^{- 1}$ を移動させます。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

ステップ 6.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

ステップ 6.2.7.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

ステップ 6.2.7.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

ステップ 6.2.7.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

ステップ 6.2.7.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

ステップ 6.2.7.6.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 6.2.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.2

$2 (\frac{16}{3})$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$2$ と $\frac{16}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.2.2

$2$ に $16$ をかけます。

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

10進法形式：

$3.73846343 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例