微分積分例

$\frac{d}{d x} (k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}})$

ステップ 1

総和則では、 $k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$k$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $k e^{- 2 x}$ の微分係数は $k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$k (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$k (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$k (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$k (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$k (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 2.6

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$k (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{k^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$ です。

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$

ステップ 3.2

$n = k^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$

ステップ 4.2

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 k e^{- 2 x} - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

微分積分 例

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