微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.2.5

項を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.2.5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.2.5.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \sin (- x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{3 \sin (lim_{x \to 0} - x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 \sin (- lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 \sin (- lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.3.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \sin (0) + 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \sin (0) + 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.7

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.7.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.7.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.7.1.3

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.7.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \sin (- x) + 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{- x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.5

$- e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $3 \sin (- x) + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (- x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (- x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.6

$- 1$ を $\cos (- x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (- 1 \cos (- x)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.7

$- 1 \cos (- x)$ を $- \cos (- x)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (- \cos (- x)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.7.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3 \cdot 1}$

ステップ 3.8.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3}$

ステップ 3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 - 3 \cos (- x)}$

ステップ 3.9.2

$\cos (- x)$ が偶関数なので、 $\cos (- x)$ を $\cos (x)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 - 3 \cos (x)}$

ステップ 4

分子が負で、分母 $3 - 3 \cos (x)$ が0に近づき、両側の $0$ に近い $x$ について0より大きいので、関数は境界なく減少します。

$- \infty$

微分積分 例

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