微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

ステップ 2

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u = 1 + x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 2.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 2.4

$u = 1 + x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

ステップ 3.2

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ と $- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}}{2}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$1 + t^{2}$ および $2$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 2^{- 1}}{2}$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + \frac{1}{2}}{2}$

ステップ 8.2.2

$- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

ステップ 8.2.3

$- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

ステップ 8.2.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2 + 1}{2}}{2}$

ステップ 8.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$

ステップ 8.2.6

$\frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$ を積として書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.2.7

$\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.8

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{4}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ を $- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{4}$

ステップ 9.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{4}$

ステップ 9.3

$- 1$ を $- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

ステップ 9.4

$- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ を $- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

ステップ 9.5

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

ステップ 10

極限を求めます。

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ステップ 10.1

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

ステップ 10.2

$\frac{1}{4}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

ステップ 10.3

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 10.4

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 10.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 10.6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{1 + t^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

ステップ 10.7

極限を求めます。

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ステップ 10.7.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 10.7.2

答えを簡約します。

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ステップ 10.7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.7.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 10.7.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

ステップ 10.7.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

ステップ 10.7.2.3

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 10.7.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{4})$

ステップ 10.7.2.3.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

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