微分積分例

$\int_{0}^{1} x \cdot 7^{x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = 7^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\ln (7)}$ と $7^{x}$ をまとめます。

$x \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{\ln (7)}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{\ln (7)}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (7)} \int_{0}^{1} 7^{x} d x)$

ステップ 4

$7^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ です。

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (7)} \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$ と $\frac{1}{\ln (7)}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}$ の値を求めます。

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.2

$1$ および $0$ で $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ の値を求めます。

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

指数を求めます。

$\frac{1 \cdot 7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.2

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 + 0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.6

$7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.7

指数を求めます。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7 - 1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.10

$7$ から $1$ を引きます。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

ステップ 5.2.3.11

$\frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$ を積として書き換えます。

$\frac{7}{\ln (7)} - (\frac{6}{\ln (7)} \cdot \frac{1}{\ln (7)})$

ステップ 5.2.3.12

$\frac{6}{\ln (7)}$ に $\frac{1}{\ln (7)}$ をかけます。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln (7) \ln (7)}$

ステップ 5.2.3.13

$\ln (7)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln (7)}$

ステップ 5.2.3.14

$\ln (7)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)}$

ステップ 5.2.3.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{{\ln (7)}^{1 + 1}}$

ステップ 5.2.3.16

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

10進法形式：

$2.01273935 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例