微分積分例

$\int_{- \infty}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

ステップ 1

$t$ が $- \infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} {(x^{4})}^{- 1} d x$

ステップ 2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{4 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{- 4} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} x^{- 3}]_{t}^{5}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$5$ および $t$ で $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ の値を求めます。

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{3} \cdot 5^{- 3}) + \frac{1}{3} t^{- 3}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

ステップ 4.2.2

$5$ を $3$ 乗します。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{125} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{125}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{125 \cdot 3} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

ステップ 4.2.4

$125$ に $3$ をかけます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{3}$ と $t^{- 3}$ をまとめます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{t^{- 3}}{3}$

ステップ 4.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- 3}$ を分母に移動させます。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3 t^{3}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

極限を求めます。

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ステップ 5.1.1

$t$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

ステップ 5.1.2

$t$ が $- \infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{375}$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

ステップ 5.1.3

$\frac{1}{3}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} lim_{t \to - \infty} \frac{1}{t^{3}}$

ステップ 5.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{t^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} \cdot 0$

ステップ 5.3

答えを簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{375} + 0$

ステップ 5.3.2

$- \frac{1}{375}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{375}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{375}$

10進法形式：

$- 0.002\overline{6}$

微分積分 例

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