微分積分例

$y = \arccos (\sqrt{1 - x})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x}$ を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\arccos ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\arccos (u_{1})$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

簡約します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - x$ とします。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 10

分数をまとめます。

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ステップ 10.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

ステップ 10.4

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 11

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 13

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 15

掛け算します。

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ステップ 15.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15.2

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \cdot 1$

ステップ 17

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x}}$

ステップ 18.2

項をまとめます。

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ステップ 18.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x}}$

ステップ 18.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x}}$

ステップ 18.2.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x}}$

ステップ 18.2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x}}$

ステップ 18.2.5

$0$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$

ステップ 18.3

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 18.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 18.4.1

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 18.4.2

$\sqrt{x}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

ステップ 18.4.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

ステップ 18.4.4

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

ステップ 18.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 18.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 18.4.7

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 18.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 18.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 18.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 18.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 18.4.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

ステップ 18.4.7.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 18.5

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{x}}{2 x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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