微分積分例

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[0, 1]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{4}{x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 1]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

ステップ 7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

ステップ 8

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 8.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u = x - 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 2$

ステップ 8.3

$0$ から $2$ を引きます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 8.4

$u = x - 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 2$

ステップ 8.5

$1$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

ステップ 10

$- 1$ および $- 2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

ステップ 11

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

ステップ 12.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 2$ と $0$ の間の距離は $2$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

ステップ 13

分母を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

ステップ 13.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

ステップ 14

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 14.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

ステップ 14.1.2

式を書き換えます。

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

ステップ 14.2

$- 4 \ln (\frac{1}{2})$ に $1$ をかけます。

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 15

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ を簡約します。

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

ステップ 16

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

ステップ 17

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

ステップ 18

$2$ を $4$ 乗します。

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

ステップ 19

微分積分 例

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