微分積分例

$\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1

$\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 4

分配則を当てはめます。

$\int \frac{x \cdot 2 + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 5

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$\int \frac{2 \cdot x + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{2 x + x^{1} x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 7

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{2 x + x^{1} x^{1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{2 x + x^{1 + 1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{2 x + x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 9.2

$2 x$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 9.3

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1) (x + 1)} d x$

ステップ 10

分配則を当てはめます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

ステップ 11

分配則を当てはめます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

ステップ 12

分配則を当てはめます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

ステップ 13

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

ステップ 14

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

ステップ 15

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

ステップ 16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

ステップ 17

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

ステップ 17.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

ステップ 17.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

ステップ 17.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1} d x$

ステップ 18

$x$ と $x$ をたし算します。

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

ステップ 19

$x^{2} + 2 x$ を $x^{2} + 2 x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

ステップ 19.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

ステップ 19.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

ステップ 19.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 2 x + 1$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

ステップ 19.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
									-	$1$

ステップ 19.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

ステップ 20

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

ステップ 21

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

ステップ 22

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

ステップ 23

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

ステップ 23.1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 23.1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

ステップ 23.1.1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 23.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 23.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

ステップ 23.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x + 1)}^{2}$ です。

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

ステップ 23.1.5

${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

ステップ 23.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

ステップ 23.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.6.1

${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

ステップ 23.1.6.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

ステップ 23.1.6.2

${(x + 1)}^{2}$ と $x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.6.2.1

$x + 1$ を $(B) {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 23.1.6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.6.2.2.1

$1$ を掛けます。

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

ステップ 23.1.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

ステップ 23.1.6.2.2.3

式を書き換えます。

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

ステップ 23.1.6.2.2.4

$B (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A + B (x + 1)$

ステップ 23.1.6.3

分配則を当てはめます。

$1 = A + B x + B \cdot 1$

ステップ 23.1.6.4

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A + B x + B$

ステップ 23.1.7

$A$ と $B x$ を並べ替えます。

$1 = B x + A + B$

ステップ 23.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B$

ステップ 23.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 23.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

ステップ 23.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 23.3.1

方程式を $B = 0$ として書き換えます。

$B = 0$

$1 = A + B$

ステップ 23.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.3.2.1

$1 = A + B$ の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$1 = A + 0$

$B = 0$

ステップ 23.3.2.2

$1 = A + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.3.2.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.3.2.2.1.1

括弧を削除します。

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

ステップ 23.3.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.3.2.2.2.1

$A$ と $0$ をたし算します。

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

ステップ 23.3.3

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$B = 0$

ステップ 23.3.4

連立方程式を解きます。

$A = 1 B = 0$

ステップ 23.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = 0$

ステップ 23.4

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

ステップ 23.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.5.1

$0$ を $x + 1$ で割ります。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

ステップ 23.5.2

式から0を削除します。

$x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 24

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 24.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 24.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 24.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 24.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 24.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 24.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 24.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C - \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 25

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 25.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$x + C - \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 25.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 25.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x + C - \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 25.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x + C - \int u^{- 2} d u$

ステップ 26

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$x + C - (- u^{- 1} + C)$

ステップ 27

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

簡約します。

$x - - \frac{1}{u} + C$

ステップ 27.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 1 \frac{1}{u} + C$

ステップ 27.2.2

$\frac{1}{u}$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{1}{u} + C$

ステップ 28

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$x + \frac{1}{x + 1} + C$

ステップ 29

答えは関数 $f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x + \frac{1}{x + 1} + C$

微分積分 例

微分積分例