微分積分例

$x + \sqrt{7 x - 3}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x + \sqrt{7 x - 3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7 x - 3}$ を ${(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [{(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 7 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x - 3$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $7 x - 3$ で置き換えます。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

ステップ 2.3

総和則では、 $7 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.4

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + 0)$

ステップ 2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

ステップ 2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

ステップ 2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

ステップ 2.11

分数の前に負数を移動させます。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

ステップ 2.12

$7$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 + 0)$

ステップ 2.13

$7$ と $0$ をたし算します。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7$

ステップ 2.14

$\frac{1}{2}$ と ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 7$

ステップ 2.15

$\frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $7$ をまとめます。

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7}{2}$

ステップ 2.16

$7$ を ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$1 + \frac{7 \cdot {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$1 + \frac{7}{2 {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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