微分積分例

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$12$ と $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ をまとめます。

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

ステップ 1.2

$\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

ステップ 2

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

ステップ 3

$x^{6}$ を ${(x^{6})}^{1}$ に書き換えます。

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

ステップ 4

$u_{1} = x^{6}$ とします。次に $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = x^{6}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x^{6}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 4.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5}$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

ステップ 5.3

$6$ を $5 + 2 u_{1}$ の左に移動させます。

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{6}$ と $12$ をまとめます。

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.2

$12$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 8

$u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$5 + 2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

ステップ 8.1.2

微分します。

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ステップ 8.1.2.1

総和則では、 $5 + 2 u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 8.1.2.2

$5$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 8.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.1.3.1

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 8.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 \cdot 1$

ステップ 8.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 2$

ステップ 8.1.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 9.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u_{2}$ のすべての発生を $5 + 2 u_{1}$ で置き換えます。

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

ステップ 13.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{6}$ で置き換えます。

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$

微分積分 例

微分積分例