微分積分例

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

ステップ 1

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ を関数で書きます。

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

ステップ 2

関数 $F (t)$ は、微分係数 $f (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (t) = \int f (t) d t$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

ステップ 4

$d$ は $t$ に対して定数なので、 $d$ を積分の外に移動させます。

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

ステップ 5.3

$t$ を $1$ 乗します。

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

ステップ 5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

ステップ 5.5

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

ステップ 5.6

$t$ を $1$ 乗します。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

ステップ 5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

ステップ 5.8

$- 9$ と $1$ をたし算します。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

ステップ 5.9

$t$ を $1$ 乗します。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

ステップ 5.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

ステップ 5.11

$3$ と $1$ をたし算します。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

ステップ 5.12

$12 t^{- 8}$ を移動させます。

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

ステップ 5.13

$10 t^{- 2}$ と $4 t^{4}$ を並べ替えます。

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

ステップ 7

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

ステップ 8

べき乗則では、 $t^{4}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{5} t^{5}$ です。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

ステップ 9

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

ステップ 10

べき乗則では、 $t^{- 2}$ の $t$ に関する積分は $- t^{- 1}$ です。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

ステップ 11

$12$ は $t$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

ステップ 12

べき乗則では、 $t^{- 8}$ の $t$ に関する積分は $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ です。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$\frac{1}{5}$ と $t^{5}$ をまとめます。

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

ステップ 13.1.2

$t^{- 7}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

ステップ 13.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- 7}$ を分母に移動させます。

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

ステップ 13.2

簡約します。

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ の不定積分です。

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

微分積分 例

微分積分例