微分積分例

$\int (3 - 2 x) \sqrt{9 x} d x$

ステップ 1

$u = 3 - 2 x$ と $d v = \sqrt{9 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 (x))}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.2

積の法則を $9 (x)$ に当てはめます。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} ({(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.5.2

式を書き換えます。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{3} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.6

$3$ を $3$ 乗します。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (27 x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.7

$27$ と $\frac{2}{27}$ をまとめます。

$(3 - 2 x) (\frac{27 \cdot 2}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.8

$27$ に $2$ をかけます。

$(3 - 2 x) (\frac{54}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.9

$\frac{54}{27}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$(3 - 2 x) \frac{54 x^{\frac{3}{2}}}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.10

$27$ を $54 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$27$ を $27$ で因数分解します。

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 (1)} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.11.2

共通因数を約分します。

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 \cdot 1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.11.3

式を書き換えます。

$(3 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.11.4

$2 x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$(3 - 2 x) (2 x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 2.12

$2$ を $3 - 2 x$ の左に移動させます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

ステップ 3

$\frac{2}{27} \cdot - 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{27} \cdot - 2$ を積分の外に移動させます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{27} \cdot - 2 \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{2}{27}$ と $- 2$ をまとめます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot - 2}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{- 4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.4

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 (x))}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.5

積の法則を $9 (x)$ に当てはめます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

共通因数を約分します。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.8.2

式を書き換えます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{3} x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.9

$3$ を $3$ 乗します。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 1 (\frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4.11

$\frac{4}{27}$ に $1$ をかけます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

$27$ は $x$ に対して定数なので、 $27$ を積分の外に移動させます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} (27 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$27$ と $\frac{4}{27}$ をまとめます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.2

$27$ に $4$ をかけます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{108}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.3

$108$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$27$ を $108$ で因数分解します。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$27$ を $27$ で因数分解します。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 (1)} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 \cdot 1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6.3.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ を $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ に書き換えます。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\frac{2}{5}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 8.2.2

$4$ と $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ をまとめます。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

ステップ 8.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 8.2.4

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 8.2.5

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 8.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 8.2.7

$5$ を $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{5} (5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例