微分積分例

$\frac{4 - x^{2}}{3 - \sqrt{x^{2} + 5}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 5}$ を ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 - x^{2}}{3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = 4 - x^{2}$ および $g (x) = 3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [- x^{2}] - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- (2 x)) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.8

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.9

$0$ と $\frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ をたし算します。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) - (4 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.11

掛け算します。

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ステップ 3.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + 1 (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.11.2

$4 - x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 10

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 12

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} x}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13.3

$x$ と $\frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13.5

共通因数を約分します。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13.6

式を書き換えます。

$\frac{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- 2 x) - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2

分子を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6 x - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 6 x - 1 \cdot - 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 6 x + 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + (4 - x^{2}) \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.4

$4 - x^{2}$ に $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{- 6 x + 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(4 - x^{2}) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 14.2.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- 6 x + 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2^{2} - x^{2}) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{- 6 x + 2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.6

$- 6 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x - 6 x \cdot \frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.7

$- 6 x$ と $\frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.9

$- 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ と $x (x + 2) (- x + 2)$ を並べ替えます。

$\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (x + 2) (- x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.10

$2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (x + 2) (- x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x (x + 2) (- x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.12

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x (- x + 2) (x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13

因数分解した形で $\frac{2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x (- x + 2) (x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ を書き換えます。

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ステップ 14.2.13.1

$x$ を $2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + x (- x + 2) (x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 14.2.13.1.1

$x$ を $2 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x (- x + 2) (x + 2) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.1.2

$x$ を $x (- x + 2) (x + 2)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x ((- x + 2) (x + 2)) - 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.1.3

$x$ を $- 6 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x ((- x + 2) (x + 2)) + x (- 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.1.4

$x$ を $x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + x ((- x + 2) (x + 2))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (x + 2)) + x (- 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.1.5

$x$ を $x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (x + 2)) + x (- 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.2

指数を足して ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.2.13.2.1

${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{x (2 ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}) + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{2}} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{x (2 {(x^{2} + 5)}^{1} + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.3

$2 {(x^{2} + 5)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{x (2 (x^{2} + 5) + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 2 \cdot 5 + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.5

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 + (- x + 2) (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.13.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x (x + 2) + 2 (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 2 + 2 (x + 2) - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.13.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.13.7.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.13.7.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.7.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} - x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.7.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot 2 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.7.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} - 2 x + 2 x + 4 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.7.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} + 0 + 4 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.7.3

$- x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 10 - x^{2} + 4 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.8

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{x (x^{2} + 10 + 4 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.2.13.9

$10$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$\frac{\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.3.2

$\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{x (x^{2} + 14 - 6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} {(3 - {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例