微分積分例

$4 x (1 + \ln (x))$

ステップ 1

$4 x (1 + \ln (x))$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

ステップ 4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

ステップ 4.3

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (x)$ を簡約します。

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

ステップ 5

$4 x + x \ln (x^{4})$ を $4 x + x (4 \ln (x))$ に書き換えます。

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

ステップ 7

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

ステップ 9

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

ステップ 10

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 11.3

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 11.5

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

ステップ 11.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

ステップ 11.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 11.6.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 11.6.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

ステップ 13

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

ステップ 14.2

簡約します。

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

ステップ 14.3

簡約します。

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ステップ 14.3.1

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

ステップ 14.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

ステップ 14.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

ステップ 14.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

ステップ 14.4.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

ステップ 14.4.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

ステップ 14.4.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.4.3.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

ステップ 14.4.3.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

ステップ 14.4.3.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

ステップ 14.4.4

$2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

ステップ 14.4.5

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

微分積分 例

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