微分積分例

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{- x - 2}$ を ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = - x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x - 2$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $- x - 2$ で置き換えます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.4

総和則では、 $- x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.9

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.10

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.11.2

$1$ から $3$ を引きます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.14

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.15

$\frac{1}{3}$ と ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.16

$\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.17

$- 1$ を ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.18

$- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ を $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.20

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.21

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.22

$- 3$ と $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.23

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.24

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.24.1

$3$ を $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.24.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.24.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.25

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 1.3.2

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ を ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ および $g (x) = - x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x - 2$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.2

$n = - \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $- x - 2$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.7.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.2

${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.3.1

$2$ を ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - (- \frac{2 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.3.4

$\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.9

総和則では、 $- x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.13

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + 0) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot - 1 + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.14.2

$\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.14.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.14.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.15

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

ステップ 2.16

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

$\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

ステップ 2.16.2

$- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{- x - 2}$ を ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.3

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = - x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x - 2$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $- x - 2$ で置き換えます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.4

総和則では、 $- x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.10

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.11.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.11.2

$1$ から $3$ を引きます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.14

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.15

$\frac{1}{3}$ と ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.16

$\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.17

$- 1$ を ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.18

$- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ を $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.20

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.21

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.22

$- 3$ と $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.23

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.24

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.24.1

$3$ を $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.24.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.24.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.25

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

ステップ 4.1.3.2

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 5.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}$ を ${(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

${(- x - 2)}^{2} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(- x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$- 1$ を $- x - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

${(- (x) - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.3.3.1.1.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

${(- (x) - 1 \cdot 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.3.3.1.1.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

${(- (x + 2))}^{2} = 0$

ステップ 6.3.3.1.2

積の法則を $- (x + 2)$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.3.3.2

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ の各項を ${(- 1)}^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ の各項を ${(- 1)}^{2}$ で割ります。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.3.2.2.1.2

${(x + 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{1}$

ステップ 6.3.3.2.3.2

$0$ を $1$ で割ります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.3.3.3

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.3.3.4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 2$

ステップ 8

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2}{3 {(- (- 2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{2}{3 {(2 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9.1.2

$2$ から $2$ を引きます。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9.1.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 9.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{5}}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

ステップ 9.3.2

$3$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2}{0}$

ステップ 9.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{2}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(- \infty, - 2)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(- (- 4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.2.2.1.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f' (- 4) = - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.2.2.2

最終的な答えは $- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ です。

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3

一次導関数 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(- 2, \infty)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - \frac{1}{{(- (0) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = - \frac{1}{{(0 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2.1.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2.2

最終的な答えは $- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.4

$x = - 2$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.5

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例