微分積分例

$\int \frac{\ln (10 x)}{x^{5}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int \ln (10 x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 1.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \ln (10 x) x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 1.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\int \ln (10 x) x^{- 5} d x$

ステップ 2

$u = \ln (10 x)$ と $d v = x^{- 5}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (10 x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\ln (10 x)$ と $\frac{1}{4 x^{4}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{4 x^{4}}$ をかけます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

ステップ 3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

ステップ 3.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

ステップ 5.2

$\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 7.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ を $- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

ステップ 9.2.2

$4$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

ステップ 9.2.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4 x^{4}}$ をかけます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

ステップ 9.2.4

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

微分積分 例

微分積分例