微分積分例

$2 \arctan (x)$

ステップ 1

$2 \arctan (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 \arctan (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \arctan (x) d x$

ステップ 5

$u = \arctan (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 6

$x$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 7.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 7.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 7.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

ステップ 8.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

ステップ 11

簡約します。

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

ステップ 13.2

$\arctan (x) x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

ステップ 13.3

$\arctan (x) x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

ステップ 13.4

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

ステップ 13.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

ステップ 13.5.2

式を書き換えます。

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 13.6

$2$ を $\arctan (x) x$ の左に移動させます。

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 13.7

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ の因数を並べ替えます。

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = 2 \arctan (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

微分積分 例

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