微分積分例

$y = \frac{1}{e^{3 x}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{e^{3 x}}$ を ${(e^{3 x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(e^{3 x})}^{- 1}]$

ステップ 1.2

${(e^{3 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 3 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$e^{- 3 x} \cdot - 3$

ステップ 3.3.2

$- 3$ を $e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$- 3 e^{- 3 x}$

微分積分 例