微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

ステップ 2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

ステップ 5.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$t$ および $1$ で $- \frac{1}{3 x^{3}}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

ステップ 5.2.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

極限を求めます。

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ステップ 6.1.1

$5$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

ステップ 6.1.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

ステップ 6.1.3

$\frac{1}{3}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

ステップ 6.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{t^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

ステップ 6.3

極限を求めます。

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ステップ 6.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{3}$ の極限値を求めます。

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.2.1.2

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$5 (0 + \frac{1}{3})$

ステップ 6.3.2.2

$0$ と $\frac{1}{3}$ をたし算します。

$5 (\frac{1}{3})$

ステップ 6.3.2.3

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{5}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{3}$

10進法形式：

$1.\overline{6}$

帯分数形：

$1 \frac{2}{3}$

微分積分 例

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