微分積分例

$e^{\frac{x + 1}{2}}$

ステップ 1

$e^{\frac{x + 1}{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{\frac{x + 1}{2}} d x$

ステップ 4

$u = \frac{x + 1}{2}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \frac{x + 1}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{x + 1}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x + 1}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.1.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

ステップ 4.1.6

式を簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.1.6.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

ステップ 5.3

$2$ を $e^{u}$ の左に移動させます。

$\int 2 e^{u} d u$

ステップ 6

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int e^{u} d u$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 (e^{u} + C)$

ステップ 8

簡約します。

$2 e^{u} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 1}{2}$ で置き換えます。

$2 e^{\frac{x + 1}{2}} + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

微分積分 例

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