微分積分例

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.2

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 1.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 1.8

分数の前に負数を移動させます。

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 1.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 1.10

$12$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 1.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.12

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 1.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.13.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 2.3

$n = - \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

ステップ 2.7.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

ステップ 2.10

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

ステップ 2.11

$- 4$ と $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

ステップ 2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{- \frac{5}{3}}}{3}$

ステップ 2.12.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.12.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.1.2

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 4.1.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 4.1.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.1.6

公分母の分子をまとめます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 4.1.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 4.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 4.1.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 4.1.10

$12$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 4.1.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.12

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 4.1.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.13.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$4 = 0$

ステップ 5.3

$4 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 6.2

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.3.3.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.3.3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.3.3.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{8}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 9.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{5}}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{8}{3 \cdot 0}$

ステップ 9.3.2

$3$ に $0$ をかけます。

$- \frac{8}{0}$

ステップ 9.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{8}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.2.2

最終的な答えは $\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3

一次導関数 $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{4}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

括弧を削除します。

$f' (2) = \frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.3.2.2

最終的な答えは $\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 10.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.5

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例