微分積分例

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

ステップ 1

$f (y) = y$ および $g (y) = 3 y^{2} - x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 y^{2} - x) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 y^{2} - x) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$3 y^{2} - x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 y^{2} - x - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $3 y^{2} - x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ です。

$\frac{3 y^{2} - x - y (\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2.4

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2.6

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + 0)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$6 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y \cdot y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 4

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y^{1})}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{1 + 1}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{2}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 7

$3 y^{2}$ から $6 y^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 y^{2} - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (3 y^{2}) - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 8.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (3 y^{2}) - (x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 8.3

$- 1$ を $- (3 y^{2}) - (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 8.4

$- (3 y^{2} + x)$ を $- 1 (3 y^{2} + x)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

ステップ 8.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 y^{2} + x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例