微分積分例

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $15$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 75 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 75$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 75 x$ の微分係数は $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.4.3

$- 75$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$125$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $125$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + 0$

ステップ 1.5.2

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$ と $0$ をたし算します。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- 75]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [30 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 30 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x + 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 75)$

ステップ 2.3.3

$30$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + 30 + \frac{d}{d x} (- 75)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 75$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 75$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 30 + 0$

ステップ 2.4.2

$- 6 x + 30$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 x + 30$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $15$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 75 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.4.1

$- 75$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 75 x$ の微分係数は $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.4.3

$- 75$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + \frac{d}{d x} [125]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.5.1

$125$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $125$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 30 x - 75$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ です。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$- 3$ を $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ を $30 x$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 75 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 3$ を $- 75$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 3 \cdot 25 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 3$ を $- 3 (x^{2}) - 3 (- 10 x)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} - 10 x) - 3 \cdot 25 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$- 3$ を $- 3 (x^{2} - 10 x) - 3 (25)$ で因数分解します。

$- 3 (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

ステップ 5.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- 3 (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 5.2.2.3

多項式を書き換えます。

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 5.3

$- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 {(x - 5)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 {(x - 5)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 5.3.2.1.2

${(x - 5)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$0$ を $- 3$ で割ります。

${(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 5.4

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.5

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 5$

ステップ 8

$x = 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 \cdot 5 + 30$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$- 6$ に $5$ をかけます。

$- 30 + 30$

ステップ 9.2

$- 30$ と $30$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ の区間 $(- \infty, 5)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 30 (0) - 75$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 30 (0) - 75$

ステップ 10.2.2.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 30 (0) - 75$

ステップ 10.2.2.1.3

$30$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 - 75$

ステップ 10.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 - 75$

ステップ 10.2.2.2.2

$0$ から $75$ を引きます。

$f' (0) = - 75$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 75$ です。

$- 75$

ステップ 10.3

一次導関数 $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ の区間 $(5, \infty)$ から $8$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f' (8) = - 3 {(8)}^{2} + 30 (8) - 75$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$f' (8) = - 3 \cdot 64 + 30 (8) - 75$

ステップ 10.3.2.1.2

$- 3$ に $64$ をかけます。

$f' (8) = - 192 + 30 (8) - 75$

ステップ 10.3.2.1.3

$30$ に $8$ をかけます。

$f' (8) = - 192 + 240 - 75$

ステップ 10.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 10.3.2.2.1

$- 192$ と $240$ をたし算します。

$f' (8) = 48 - 75$

ステップ 10.3.2.2.2

$48$ から $75$ を引きます。

$f' (8) = - 27$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 27$ です。

$- 27$

ステップ 10.4

$x = 5$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.5

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例