微分積分例

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\sqrt{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\sqrt{3} \sin (x)$ の微分係数は $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = \sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ です。

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.4

分数を分解します。

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.6

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.7

分数を分解します。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 2.9

$0$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 2.10

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

ステップ 2.11

方程式の両辺から $\sqrt{3}$ を引きます。

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 2.12

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.12.1

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

ステップ 2.12.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.12.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

ステップ 2.12.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

ステップ 2.12.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.12.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

ステップ 2.12.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

ステップ 2.13

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 2.14

右辺を簡約します。

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ステップ 2.14.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 2.15

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 2.16

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.16.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 2.16.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.16.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 2.16.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 2.16.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.16.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 2.16.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 2.17

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.17.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.17.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.17.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.17.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.18

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{π}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{π}{3}$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.2

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.2.1

$\sqrt{3}$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.1.2.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 + 1}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.2.1

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2.2

$4$ を $2$ で割ります。

$2$

ステップ 4.2

$x = \frac{4 π}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{4 π}{3}$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3

$\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

$\sqrt{3}$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.4.5

指数を求めます。

$- \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 4.2.2.1.6

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 - 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.2.1

$- 3$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 4}{2}$

ステップ 4.2.2.2.2.2

$- 4$ を $2$ で割ります。

$- 2$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{3} + 2 π n, 2), (\frac{4 π}{3} + 2 π n, - 2)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例