微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$v^{4}$ を $v^{4} + 4 v^{8}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$1$ を掛けます。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

ステップ 1.1.2

$v^{4}$ を $4 v^{8}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

ステップ 1.1.3

$v^{4}$ を $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ で因数分解します。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$v^{4}$ を $v^{5}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

ステップ 2

$1$ と $4 v^{4}$ を並べ替えます。

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

ステップ 3

$4 v^{4} + 1$ を $v$ で割ります。

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ステップ 3.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

ステップ 3.2

被除数 $4 v^{4}$ の最高次項を除数 $v$ の最高次項で割ります。

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

ステップ 3.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

ステップ 3.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 v^{4} + 0$ の符号をすべて変更します。

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

ステップ 3.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

ステップ 3.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

ステップ 3.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

ステップ 5

$4$ は $v$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

ステップ 6

べき乗則では、 $v^{3}$ の $v$ に関する積分は $\frac{1}{4} v^{4}$ です。

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ と $v^{4}$ をまとめます。

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

ステップ 8

$\frac{1}{v}$ の $v$ に関する積分は $\ln (| v |)$ です。

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

代入し簡約します。

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ステップ 9.1.1

$2$ および $1$ で $\frac{v^{4}}{4}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

ステップ 9.1.2

$2$ および $1$ で $\ln (| v |)$ の値を求めます。

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3

簡約します。

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ステップ 9.1.3.1

$2$ を $4$ 乗します。

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.2

$16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.2.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.4

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.5

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.3.7.1

$4$ に $4$ をかけます。

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.7.2

$16$ から $1$ を引きます。

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.8

$4$ と $\frac{15}{4}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.9

$4$ に $15$ をかけます。

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.10

$60$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.10.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.10.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.1.3.10.2.4

$15$ を $1$ で割ります。

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

ステップ 9.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

ステップ 9.3.3

$2$ を $1$ で割ります。

$15 + \ln (2)$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$15 + \ln (2)$

10進法形式：

$15.69314718 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

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