微分積分例

$x^{2} + 3 - 5 y = x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 - 5 y) = \frac{d}{d x} (x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + 3 - 5 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

ステップ 2.1.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 y$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 x + 0 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 0 - 5 y'$

ステップ 2.3

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 5 y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 3.4

$y$ に $1$ をかけます。

$x y' + y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x - 5 y' = x y' + y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $x y'$ を引きます。

$2 x - 5 y' - x y' = y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$- 5 y' - x y' = y - 2 x$

ステップ 5.3

$y'$ を $- 5 y' - x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- 5 y'$ で因数分解します。

$y' \cdot - 5 - x y' = y - 2 x$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- x y'$ で因数分解します。

$y' \cdot - 5 + y' (- x) = y - 2 x$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' \cdot - 5 + y' (- x)$ で因数分解します。

$y' (- 5 - x) = y - 2 x$

ステップ 5.4

$y' (- 5 - x) = y - 2 x$ の各項を $- 5 - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (- 5 - x) = y - 2 x$ の各項を $- 5 - x$ で割ります。

$\frac{y' (- 5 - x)}{- 5 - x} = \frac{y}{- 5 - x} + \frac{- 2 x}{- 5 - x}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$- 5 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 5 - x)}{- 5 - x} = \frac{y}{- 5 - x} + \frac{- 2 x}{- 5 - x}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{- 5 - x} + \frac{- 2 x}{- 5 - x}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y - 2 x}{- 5 - x}$

ステップ 5.4.3.2

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y - 2 x}{- 1 (5) - x}$

ステップ 5.4.3.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y - 2 x}{- 1 (5) - (x)}$

ステップ 5.4.3.4

$- 1$ を $- 1 (5) - (x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y - 2 x}{- 1 (5 + x)}$

ステップ 5.4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y - 2 x}{5 + x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2 x}{5 + x}$

微分積分 例

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