微分積分例

$\int \frac{1}{x \sqrt[3]{\ln (x)}} d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{3}{2} {\ln (x)}^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例