微分積分例

$\int \frac{3 x^{2} - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$3$ を $3 x^{2} - 3 x + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2}) - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

ステップ 1.1.1.1.2

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

ステップ 1.1.1.1.3

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

ステップ 1.1.1.1.4

$3$ を $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} - x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

ステップ 1.1.1.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - x) + 3 (2)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

ステップ 1.1.1.2

$2 x$ を $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$2 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) - 6 x^{2} + 24 x}$

ステップ 1.1.1.2.2

$2 x$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 24 x}$

ステップ 1.1.1.2.3

$2 x$ を $24 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (12)}$

ステップ 1.1.1.2.4

$2 x$ を $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)}$

ステップ 1.1.1.2.5

$2 x$ を $2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)$ です。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.6

$2 x^{2} - 3 x + 12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.6.2

$3 (x^{2} - x + 2)$ を $1$ で割ります。

$3 (x^{2} - x + 2) = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.7

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.8.2

$3$ に $2$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.1.2

$A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12))$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12)) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2} - 3 x + 12) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.4.3

$12$ に $2$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.5.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.6

$2 x^{2} - 3 x + 12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.6.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.1.9.6.2

$(B x + C) (2 x)$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + (B x + C) (2 x)$

ステップ 1.1.9.7

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + B x (2 x) + C (2 x)$

ステップ 1.1.9.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + C (2 x)$

ステップ 1.1.9.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + 2 C x$

ステップ 1.1.9.10

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.10.1

$x$ を移動させます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B (x \cdot x) + 2 C x$

ステップ 1.1.9.10.2

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

ステップ 1.1.10

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

$A$ を移動させます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

ステップ 1.1.10.2

$A$ を移動させます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

ステップ 1.1.10.3

$B$ を移動させます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 x^{2} B + 2 C x$

ステップ 1.1.10.4

$24 A$ を移動させます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 2 x^{2} B + 2 C x + 24 A$

ステップ 1.1.10.5

$- 6 x A$ を移動させます。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - 6 x A + 2 C x + 24 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = 4 A + 2 B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$6 = 24 A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$6 = 24 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $24 A = 6$ として書き換えます。

$24 A = 6$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.1.2

$24 A = 6$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$24 A = 6$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.3.1

$6$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.3.1.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$A = \frac{6 (1)}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.3.1.2.1

$6$ を $24$ で因数分解します。

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.1.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$3 = 4 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

ステップ 1.3.2.3

$- 3 = - 6 A + 2 C$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$- 3 = - 6 (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$- 3 = 2 (- 3) (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2.4.1.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2.4.1.1.3

共通因数を約分します。

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2.4.1.1.4

式を書き換えます。

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2.4.1.2

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 3 = \frac{- 3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2.4.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$ として書き換えます。

$- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{3}{2}$ を足します。

$2 C = - 3 + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 C = - 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2.3

$- 3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.5.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$2 C = \frac{- 6 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2.5.2

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.3

$2 C = - \frac{3}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1

$2 C = - \frac{3}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$C = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.3.3.2

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$C = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.3.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $- \frac{3}{4}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

方程式を $1 + 2 B = 3$ として書き換えます。

$1 + 2 B = 3$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 B = 3 - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4.3

$2 B = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.3.1

$2 B = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.3.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = 1, C = - \frac{3}{4}, A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{1 x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分数の分子と分母に $4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$\frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4}{4} \cdot \frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

ステップ 1.5.1.2

まとめる。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x - \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (- \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

ステップ 1.5.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$- \frac{3}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

ステップ 1.5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

ステップ 1.5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

ステップ 1.5.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 \cdot (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

ステップ 1.5.5

$4$ を $4 \cdot 2 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$4$ を $4 \cdot 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

ステップ 1.5.5.2

$4$ を $4 \cdot 12$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}$

ステップ 1.5.5.3

$4$ を $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}$

ステップ 1.5.5.4

$4$ を $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

ステップ 1.5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

ステップ 1.5.7

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\int \frac{1}{4 x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 12} d x$

ステップ 6

$u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ とします。次に $d u = (4 x - 3) d x$ すると、 $\frac{1}{4 x - 3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2 x^{2} - 3 x + 12$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x + 12]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $2 x^{2} - 3 x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 6.1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 6.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 6.1.4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$4 x - 3 + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 6.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.1

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$4 x - 3 + 0$

ステップ 6.1.5.2

$4 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$4 x - 3$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $2 x^{2} - 3 x + 12$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| 2 x^{2} - 3 x + 12 |) + C$

微分積分 例

微分積分例