微分積分例

$2 x \sqrt{x}$

ステップ 1

$2 x \sqrt{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 x \sqrt{x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 x \sqrt{x} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

ステップ 4.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

ステップ 4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

ステップ 4.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

ステップ 4.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ を $2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$ に書き換えます。

$2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 7.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8

答えは関数 $f (x) = 2 x \sqrt{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

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