微分積分例

$4 x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x] + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$4 (x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 (x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$3$ に $3$ をかけます。

$4 (x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5 \cdot 1) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.10

$5$ に $1$ をかけます。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) (2 x))$

ステップ 3.12

$2$ を $3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ の左に移動させます。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + 2 \cdot (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + 2 (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) x)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (5 x)) x)$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + 2 (3 x^{3}) x + 2 (- 2 x^{2}) x + 2 (5 x) x)$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} (9 x^{2})) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$4 (x^{2} x^{2} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (x^{2 + 2} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 (x^{4} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.2

$9$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$4 (9 \cdot x^{4}) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.3

$9$ に $4$ をかけます。

$36 x^{4} + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.1

$x$ を移動させます。

$36 x^{4} + 4 (x \cdot x^{2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$36 x^{4} + 4 (x^{1} x^{2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$36 x^{4} + 4 (x^{1 + 2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$36 x^{4} + 4 (x^{3} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.5

$- 4$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$36 x^{4} + 4 (- 4 \cdot x^{3}) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.6

$- 4$ に $4$ をかけます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.7

$5$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (5 \cdot x^{2}) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.8

$5$ に $4$ をかけます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.9

$3$ に $2$ をかけます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{3} x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.10

$x$ を $1$ 乗します。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 (x^{1} x^{3})) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{1 + 3}) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.12

$1$ と $3$ をたし算します。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{4}) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.13

$6$ に $4$ をかけます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.14

$- 2$ に $2$ をかけます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{2} x) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.15

$x$ を $1$ 乗します。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 (x^{1} x^{2})) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{1 + 2}) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.17

$1$ と $2$ をたし算します。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{3}) + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.18

$- 4$ に $4$ をかけます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (2 (5 x) x)$

ステップ 4.5.19

$5$ に $2$ をかけます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x \cdot x)$

ステップ 4.5.20

$x$ を $1$ 乗します。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 (x^{1} x))$

ステップ 4.5.21

$x$ を $1$ 乗します。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 (x^{1} x^{1}))$

ステップ 4.5.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x^{1 + 1})$

ステップ 4.5.23

$1$ と $1$ をたし算します。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x^{2})$

ステップ 4.5.24

$10$ に $4$ をかけます。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 40 x^{2}$

ステップ 4.5.25

$36 x^{4}$ と $24 x^{4}$ をたし算します。

$60 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x^{3} + 40 x^{2}$

ステップ 4.5.26

$- 16 x^{3}$ から $16 x^{3}$ を引きます。

$60 x^{4} - 32 x^{3} + 20 x^{2} + 40 x^{2}$

ステップ 4.5.27

$20 x^{2}$ と $40 x^{2}$ をたし算します。

$60 x^{4} - 32 x^{3} + 60 x^{2}$

微分積分 例

微分積分例