微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.5

項を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.5.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0) - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.6.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.6.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.6.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{- x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.5

$- e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $\sin (3 x) - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.4

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7.5

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \cdot 1}$

ステップ 3.8.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3}$

ステップ 3.9

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 + 3 \cos (3 x)}$

ステップ 4

Since the numerator is negative and the denominator $- 3 + 3 \cos (3 x)$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

微分積分 例

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