微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 15 e^{- 5 x}}{\frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 1.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 1.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 1.4

$15$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 - 15 lim_{x \to \infty} e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 2

指数 $- 5 x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- 5 x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})}$

ステップ 5.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}$

ステップ 5.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$2 - 15 \cdot 0$ と $0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 2) - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $- 15 \cdot 0$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.3

$- 1$ を $- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- 2 + 15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.4

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.5

$2$ を $- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.6.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.1.6.2

$2$ を $4 \cos (5 \cdot 0)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))}$

ステップ 7.1.6.3

$2$ を $2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

ステップ 7.1.6.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

ステップ 7.1.6.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 15)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ に $15$ をかけます。

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.2.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

ステップ 7.3

分母を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (0)}$

ステップ 7.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2}$

ステップ 7.3.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

ステップ 7.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

微分積分 例

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